Aunque la vida de, posiblemente dos de los matemáticos más influyentes de la historia, dos genios, llegaron a solaparse, sin embargo es más que probable que no coincidieran físicamente, o al menos se carece de fuentes que atestigüen lo contrario.
Esto se debe a varias razones entre las que destacaría principalmente que, Euclides vivió en Alejandría y su obra tuvo una gran influencia en el mundo helenístico y, especialmente, en el mundo académico de Egipto; mientras que Arquímedes vivió en Siracusa, una ciudad independiente en Sicilia, y desarrolló su trabajo principalmente en el ámbito de las matemáticas y la ingeniería.
Decía que, aunque no se conocen registros históricos que confirmen un encuentro directo entre ambos, es posible que Arquímedes conociera la obra de Euclides, ya que "Los Elementos" fueron muy influyentes y ampliamente difundidos en su tiempo. Sin embargo, recalco, no hay evidencias de que ambos matemáticos se hayan cruzado en vida ni de que Arquímedes haya estudiado directamente bajo la influencia de Euclides.
Euclides
Antiguo matemático que descolló en Alejandría durante el reinado de Tolomeo I (305-285 a.C.). Se le atribuye la fundación de una escuela y, ciertamente, desde su tiempo hasta la invasión de los sarracenos, Alejandría fue la sede principal de las ciencias matemáticas. La obra más famosa de Euclides son sus Elementos de Geometría, (sobre el año 300 a.C.),en trece libros, a los cuales se añadieron posteriormente dos, probablemente de Hipsicles de Alejandría. Los seis primeros libros ocupan todavía un lugar importante en las escuelas, a pesar de que se critica su disposición. Los XI y XII, ocasionalmente estudiados, tratan de las relaciones entre puntos, rectas y planos, teoremas de áreas y volúmenes y estudio de los polígonos regulares. Los libros VII, VIII y IX versan sobre las propiedades de los números. Heiberg y Menge publicaron una edición completa de sus obras (5 vols., 1883-1916). Es autor también de Data, Divisiones de superficies, tratados sobre Armonía, Óptica y Catóptrica, Los fenómenos (celestes) y otras obras desaparecidas. Si bien algunos de los conceptos expuestos eran conocidos con anterioridad a su época, por lo que resulta imposible saber qué proporción de su obra puede considerarse completamente origina, su trabajo es genial. Al recoger todo lo que se sabía, sistematiza los datos de la intuición y, analítico, substituye imágenes concretas por nociones abstractas para poder razonar sin apoyo intuitivo alguno ( ALGORITMO DE EUCLIDES; POSTULADO DE EUCLIDES).
Los Elementos influyeron durante más de 2000 años en matemáticos, filósofos y científicos. Su método fue el estándar para enseñar geometría hasta la época moderna, e incluso hoy en día sigue siendo una referencia fundamental en la matemática escolar y universitaria. Además, sentó las bases de la geometría euclidiana, el sistema geométrico que describe el espacio plano y que fue la única geometría conocida hasta el descubrimiento de geometrías no euclidianas en el siglo XIX. En resumen, los Elementos de Euclides no son solo un tratado matemático, sino un modelo de pensamiento lógico-deductivo que tuvo un impacto perdurable en la ciencia, la filosofía y la educación matemática.
La Importancia del método de Euclides es que es fundamentalmente deductivo, algo que pasará a la historia de las ciencias como una de sus mayores contribuciones. Parte de sus definiciones, axiomas (afirmaciones evidentes) y postulados para demostrar, paso a paso, proposiciones y teoremas más complejos. Cada proposición está relacionada con las anteriores, creando un sistema lógico riguroso que es la base de la geometría euclidiana.
Después de esta introducción sobre Euclides y sus aportaciones a las matemáticas y geometría plana voy a intentar sintetizar la importancia de sus Elementos describiendo de forma muy general su estructura.
Libros I a VI: Geometría plana.
En ellos Euclides establece una serie de definiciones y axiomas básicos: Euclides comienza definiendo conceptos fundamentales como "punto", "línea", "plano" y sus propiedades. Estableciendo ciertos postulados que sirven como principios evidentes y no demostrables. Posiblemente, el postulado más famoso que formula es: "Por un punto exterior a una recta dada, solo se puede trazar una recta paralela a la misma" (lo que hoy se conoce como postulado de las paralelas).
En estos libros estudia la construcción de figuras geométricas básicas, desarrollando proposiciones relacionadas con triángulos, paralelogramos y círculos.
Ejemplo: la proposición I.47, Euclides demuestra el famoso Teorema de Pitágoras, estableciendo que en un triángulo rectángulo, "el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos".
Proporciones y semejanza de figuras: Se introducen conceptos fundamentales como la proporcionalidad y la semejanza, aplicados a figuras geométricas.
Libros VII a IX: Teoría de los números.
Estos libros abordan los Números Naturales y sus propiedades utilizando un enfoque geométrico.
Divisibilidad y números primos: Se estudian conceptos como divisores, múltiplos y números primos. Euclides demuestra que existen infinitos números primos.
Algoritmo de Euclides: El procedimiento que permite sistematizar la búsqueda del Máximo Común Divisor (MCD) de dos números naturales. También se le llama “método de las divisiones sucesivas”.
Fue el primero en referirse a los Números Perfectos (aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios). Se le atribuye el descubrimiento de cuatro números perfectos.
Libro X: Inconmensurables y números irracionales.
Euclides explora los segmentos que no pueden ser medidos mediante una unidad común (irracionales), utilizando métodos geométricos avanzados.
Libros XI a XIII: Geometría del espacio.
Sólidos geométricos: Estos libros extienden los resultados previos a la tercera dimensión. Se estudian figuras como los poliedros regulares o Sólidos Platónicos, (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro), demostrando que no puede haber más de cinco sólidos regulares convexos y las propiedades de las figuras tridimensionales.
Arquímedes (287-212 a. de J.C.). Matemático, físico e inventor griego, nace en Siracusa (Sicilia). Recibió su educación científica en Alejandría y Egipto. Llegó a ser el más grande matemático de la antigüedad y, anticipándose en el cálculo, inventó métodos generales para encontrar las áreas de figuras planas de contorno curvilíneo y los volúmenes limitados por superficies curvas. Aplicó estos métodos a muchos casos especiales, tales como la espiral, el círculo, la esfera y a superficies de revolución engendradas por rectángulos (cilindros), triángulos (conos), parábolas (paraboloides), hipérbolas (hiperboloides) y elipses (esferoides), al girar alrededor de sus ejes principales, todo ello fundamental para el posterior estudio de las matemáticas. Ideó un método para calcular π y fijó su valor entre 3 1/7 y 3 10/71. Pero su fama es debida fundamentalmente a sus descubrimientos en el campo de la física. Suyo es el aforismo sobre la aplicación de la Ley de las palancas “¡Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo!”. Le debemos además la invención de máquinas simples, como el tornillo, y el polipasto.
El descubrimiento de la primera Ley de la hidrostática por Arquímedes le proviene del encargo que le hizo el tirano Hierón II para que determinara si cierta corona estaba hecha de oro puro o era de una aleación con exceso de plata. La respuesta al problema se le ocurrió un día en el baño; al desplazar la cantidad de agua que desplazaba su propio cuerpo, cayó en la cuenta de que un sólido sumergido en un líquido pierde de peso una cantidad igual al peso del líquido que desaloja. En este instante se cuenta que exclamó: ¡Eureka! ¡Eureka! (en griego: «¡Lo encontré!» ) y mediante el oportuno ensayo demostró que la corona era de aleación de oro y plata, basado en que la plata tiene más volumen por peso que el oro. De Hierón recibió otros encargos, como la organización de la defensa de Siracusa en previsión de un posible ataque romano. La eficacia de tales ingenios la sufrieron en sus propias carnes los romanos cuando atacaron Siracusa en el año 214 a. de J.C. durante la Segunda Guerra Púnica. Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa en 212 a. de C, asesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de no hacerle daño.
Aprovechando las casi infinitas posibilidades que nos brinda la IA, he hecho un pequeño experimento, le he pedido que me recree una hipotética conversación entre estos dos genios, en el también hipotético caso de que hubiesen llegado a coincidir.
El escenario, una cálida tarde tarde en la antigua y tranquila Alejandría, a la caída del sol, cuando los cielos se pintan del color del averno, dos de las mentes más brillantes de la historia se encuentran en el Jardín de las Matemáticas, un espacio destinado al estudio y la reflexión. Euclides, conocido como el padre de la geometría, y Arquímedes, el genial innovador en el campo de la física y la matemática aplicada, comienzan una fascinante conversación posiblemente en un entorno lleno de estudiantes y matemáticos. Arquímedes, quien había viajado desde su ciudad natal, Siracusa, en busca de conocimiento, acaba de llegar a la ciudad y se encuentra con Euclides, quien lo invita a sentarse y compartir ideas.
La conversación que comienza con un interés mutuo por el trabajo del otro, podría haber transcurrir así:
- Euclides. Saludos, Arquímedes. He oído mucho sobre tu ingenio y tus descubrimientos en geometría y mecánica. Soy Euclides, y en mi obra, "Los Elementos", trato de establecer una base rigurosa para las matemáticas, comenzando con definiciones, axiomas y teoremas demostrables. Me interesa mucho saber cómo has aplicado la geometría en tus trabajos de mecánica. ¿Qué opinas sobre el uso de la geometría como base para la física?*
- Arquímedes. Es un honor conocerte, Euclides. He estudiado tu obra con gran admiración. Sin tus "Elementos", no habría sido posible estructurar el conocimiento matemático de la manera en que lo hago hoy. En mi trabajo, aunque me concentro principalmente en la física y la mecánica, efectivamente, muchas de mis ideas están fundamentadas en la geometría que tú tan elegantemente has establecido. De hecho, la forma en que describes los "puntos, líneas y figuras" en "Los Elementos" ha sido fundamental para muchos de mis descubrimientos, como mi trabajo sobre las "áreas de las figuras curvas" o la "fuerza de los cuerpos flotantes".
- Euclides. Me complace saber que mi obra ha influido en tu investigación. Es fascinante que utilices la geometría para explicar fenómenos físicos. Por ejemplo, en tus estudios sobre la palanca y los centros de gravedad, ¿cómo te aseguras de que las proporciones geométricas que encuentras se apliquen con precisión a las leyes de la física?
- Arquímedes. La relación entre la "geometría y la física" es algo que me apasiona. En mis estudios de la palanca, por ejemplo, utilizo la proporción de los segmentos de la palanca para demostrar cómo se pueden equilibrar fuerzas de diferente magnitud. Me doy cuenta de que la fuerza aplicada en una palanca depende de la distancia al punto de apoyo, y la forma en que esas distancias se relacionan se puede explicar completamente mediante proporciones geométricas. Por lo tanto, no solo es una cuestión de "razonamiento geométrico", sino también de "experiencia práctica". Del mismo modo, para estudiar los cuerpos flotantes en el agua, uso los principios del "volumen" y la "geometría de los sólidos", lo que me lleva a la formulación de lo que conocemos como el "Principio de Arquímedes", donde el volumen desplazado por un cuerpo se correlaciona con el peso del fluido desplazado. Todo esto, en su núcleo, es geometría aplicada al mundo físico.
- Euclides. Es asombroso, Arquímedes. La precisión con la que aplicas principios geométricos a la física es admirable. En mi obra, he intentado establecer un marco lógico para las matemáticas puras, pero comprendo que la geometría tiene un poder mucho mayor cuando se vincula con la observación del mundo natural. A veces me pregunto, si debería haber dedicado más atención a las aplicaciones prácticas de los teoremas que expongo en "Los Elementos". Mi enfoque se ha centrado mucho en la "abstracción" y la "demostración rigurosa", pero lo que haces, me demuestra que la matemática tiene una vida más allá de la teoría pura. Creo que me atrae tu capacidad de vincular las ideas abstractas con las realidades físicas.
- Arquímedes. Y yo, Euclides, admiro profundamente tu capacidad para establecer "fundamentos sólidos" que no dependen de la observación sensorial, sino que se basan únicamente en la lógica y la razón. Yo mismo a menudo busco demostrar resultados a través de "principios axiomáticos", como cuando uso "el método de exhaución" para encontrar áreas y volúmenes de figuras complejas. Sin embargo, en mis estudios sobre la "mecánica" y la "hidrostática", encuentro que los experimentos, las observaciones y la "intuición física" me guían hacia el descubrimiento, y luego busco confirmarlo con las herramientas matemáticas que tú has desarrollado. Quizás nuestras disciplinas no están tan alejadas como parecen, sino que se complementan: la abstracción matemática proporciona un marco, y la observación física nos da la aplicación.
- Euclides. ¡Qué interesante! En realidad, nuestra aproximación no es tan diferente. Tal vez lo que necesitamos es un puente entre la *matemática abstracta* y la *experimentación física*. Yo he sido muy enfocado en la exactitud lógica, pero no puedo negar que lo que tú haces, Arquímedes, abre nuevas posibilidades para la matemática aplicada. Quizás podríamos incluso crear un enfoque sistemático que combine nuestras fortalezas. Yo te proporciono una base teórica, y tú puedes usarla para desarrollar nuevas aplicaciones prácticas que podrían cambiar nuestra comprensión del mundo.
- Arquímedes. Esa es una excelente idea, Euclides. Como sabes, he trabajado en varios problemas de mecánica aplicando las herramientas matemáticas disponibles. Por ejemplo, el "teorema de la espiral" y el "volumen del cono" tienen bases geométricas, pero también responden a preguntas sobre el movimiento y el espacio físico. Con tu trabajo, podría abordar nuevos problemas, como las trayectorias de los cuerpos en el aire o las órbitas de los planetas, desde una perspectiva más rigurosa. La geometría no solo es una herramienta para describir lo estático, sino también para entender lo que se mueve.
- Euclides. Estoy de acuerdo. A medida que nos acercamos a una mayor comprensión de las leyes que rigen el cosmos, la "matemática" y la "física" deben trabajar de la mano, no como campos separados. En este sentido, tu trabajo, Arquímedes, podría ser visto como una extensión de lo que he intentado hacer, uniendo la matemática y la realidad. La matemática es la lengua con la que podemos describir el universo.
- Arquímedes. ¡Exactamente, Euclides! Y es por eso que nuestra labor conjunta podría ser tan poderosa. Mientras tú has sentado las bases de la "razón pura" y de la "demostración", yo he comenzado a explorar los caminos de la "aplicación práctica", siempre buscando la forma en que los "conceptos abstractos" se pueden traducir en leyes físicas. El futuro de la ciencia, creo, se encuentra precisamente en la confluencia de estas dos grandes tradiciones.
Al margen de la trivialidad, y en algunos momentos, poca credibilidad que pudiera tener esta conversación, que no olvidemos es un producto de un algoritmo de Inteligencia Artificial, lo que es incuestionable es que la influencia de estos dos genios de la Matemática y Física perdura, y por tanto la conclusión final a la que llegamos es que su legado está ahí y afortunadamente, las ideas de Euclides sobre la geometría y la lógica deductiva son fundamentales en las matemáticas modernas, mientras que los avances de Arquímedes en geometría, física e ingeniería siguen siendo esenciales en la ciencia y la tecnología contemporáneas. Su trabajo ha moldeado no solo las matemáticas y la física, sino también la forma en que entendemos y aplicamos la ciencia en la vida cotidiana, desde la construcción de estructuras hasta la navegación y la exploración espacial.
Diccionario Enciclopédico DURVAN. Tomo I. Pag. 490).
Alguna de las imágenes han sido generadas por IA, otras obtenidas mediante fotos al Diccionario Enciclopédico DURVAN y hay otra extraída de Internet.
Wikipedia
La conversación entre los dos genios, es pura ficción generada por un algoritmo de IA.
Hasta luego y suerte.
Paco Gil Pacheco (@PacoGilBarbate)
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