Imaginación
Un análisis matemático, científico y literario de la obra de Jorge Luis Borges
El escritor que pensaba como matemático
Jorge Luis Borges (Buenos Aires, 1899 – Ginebra, 1986) es, sin duda, como en los dos artículos artículos anteriores hemos constatado, uno de los escritores más singulares del siglo XX. Sabemos que su obra es aclamada universalmente por su rigor filosófico y su poder imaginativo y a poco que profundicemos en su obra, intuimos que esconde en sus páginas algo que muy pocos lectores perciben de inmediato: una profunda y genuina fascinación matemática. Borges no era matemático en el sentido académico del término, pero su pensamiento operaba con una intuición estructural que habría dejado atónito a más de un especialista.
La intención de este artículo (lo empecé en febrero de 2026, como los que le preceden) es explorar la obra borgiana desde un triple ángulo: el literario, el histórico-científico y el matemático. Veremos cómo Borges anticipó, popularizó o simplemente jugó —con una elegancia sin par— con conceptos que a menudo solo se encuentran en los tratados más áridos de la lógica matemática y la física teórica: el infinito actual de Cantor, la topología de superficies imposibles, la teoría de los mundos posibles, la combinatoria, la autorreferencia y los sistemas formales incompletos.
“La certidumbre de que todo está escrito nos anula o nos fantasmea.”
— Borges, La Biblioteca de Babel, 1941
Esa 'certidumbre' no es solo literaria: es el reconocimiento visceral de que el espacio combinatorio de las letras es, en términos cantorianos, un conjunto infinito no numerable. Comencemos el viaje.
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II. El Infinito de Cantor y la Biblioteca de Babel
2.1. El cuento como experimento mental matemático
En 1941, Borges publica en el volumen El jardín de senderos que se bifurcan el relato La Biblioteca de Babel. La premisa es puede parecernos engañosamente sencilla: "existe una biblioteca que contiene todos los libros posibles formados por un alfabeto de 25 símbolos (22 letras, el punto, la coma y el espacio), con libros de 410 páginas cada uno, con 40 líneas por página y 80 caracteres por línea.
Hagamos la matemática que Borges sugiere pero no despliega explícitamente. El número de caracteres por libro es:
Nº de caracteres = 410 × 40 × 80 = 1.312.000 caracteres por libro
Con un alfabeto de 25 símbolos, el número total de libros distintos posibles es:
Nº de libros = 25^1.312.000 ≈ 10^(1.834.097)
Se trata de un número finito —aunque astronómicamente grande— que, sin embargo, Borges trata literariamente como infinito. Esta es una distinción crucial que el propio Borges conocía y que resulta filosóficamente productiva: lo prácticamente inabarcable se convierte en metonimia del infinito verdadero.
2.2. Georg Cantor: el matemático del infinito real
Georg Cantor (1845–1918) fue el matemático alemán que, en la segunda mitad del siglo XIX, construyó la teoría rigurosa de los conjuntos infinitos. Su contribución más asombrosa fue demostrar que existen infinitos de diferentes tamaños: hay más números reales que números naturales, aunque ambos conjuntos sean infinitos.
Cantor introdujo los números cardinales transfinitos para cuantificar distintos tamaños de infinito. El más pequeño, ℵ₀ (álef-cero), corresponde al conjunto de los números naturales. El siguiente, ℵ₁, al conjunto de los números reales (según la hipótesis del continuo). La Hipótesis del Continuo —que no existen cardinales entre ℵ₀ y ℵ₁— fue demostrada independiente de los axiomas estándar de la matemática por Kurt Gödel (1940) y Paul Cohen (1963), lo que la convierte en una de las proposiciones más profundas de toda la historia de las matemáticas.
Borges conocía la obra de Cantor y le dedicó admiración explícita en varios ensayos. En Avatares de la tortuga (1939), escribe sobre las paradojas del infinito con una precisión conceptual admirable para un literato de su época. En Los teólogos, el infinito se convierte en arena teológica donde dos sistemas de creencias se anulan mutuamente, como dos teorías matemáticas inconsistentes entre sí.
“Dios mueve al jugador, y éste la pieza. ¿Qué dios detrás de Dios la trama empieza de polvo y tiempo y sueño y agonía?”
— Borges, Ajedrez, 1960 — una reflexión sobre la regresión infinita de causas
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III. El Jardín de Senderos que se Bifurcan y la Mecánica Cuántica
3.1. El multiverso antes del multiverso
En 1941, el mismo año en que Hugh Everett III tenía solo once años, Borges publicó El jardín de senderos que se bifurcan, relato que anticipa con décadas la interpretación de los muchos mundos de la mecánica cuántica, formulada por Everett en 1957.
En el cuento, el sinólogo Stephen Albert desvela el sentido de la novela-laberinto de Ts'ui Pên: no elige una sola posibilidad y elimina las otras, sino que elige —simultáneamente— todas. Crea así varios porvenires, varios tiempos, que a su vez proliferan y se bifurcan.
“En todas las ficciones, cada vez que un hombre se enfrenta con diversas alternativas, opta por una y elimina las otras; en la del casi inextricable Ts'ui Pên, opta —simultáneamente— por todas. Crea, así, diversos porvenires, diversos tiempos, que también proliferan y se bifurcan.”
— Borges, El jardín de senderos que se bifurcan, 1941
3.2. La interpretación de Everett y el formalismo cuántico
La mecánica cuántica estándar describe el estado de un sistema mediante una función de onda ψ que evoluciona determinísticamente según la ecuación de Schrödinger. El problema surge al 'medir': el formalismo predice superposiciones de resultados, pero la experiencia registra uno solo. El 'colapso' de la función de onda fue la solución ad hoc adoptada por la interpretación de Copenhague.
Everett propuso una solución radicalmente diferente y matematicamente más elegante: el colapso nunca ocurre. Todos los resultados se realizan en ramas del universo que se bifurcan. La ecuación de Schrödinger es válida siempre y en todo lugar. El universo se ramifica continuamente, y cada rama es igualmente real. El espacio de Hilbert que describe el sistema crece exponencialmente con cada interacción.
La conexión no es casual: ambos pensadores rechazan la reducción ontológica (elegir un solo futuro/resultado) a favor de una ontología maximalista que conserva toda la estructura formal. En la terminología de David Lewis, se trata de una forma de realismo modal: todos los mundos posibles son igualmente reales.
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IV. Autorreferencia, Incompletitud y el Cuento de Borges
4.1. Gödel y los límites del conocimiento formal
En 1931, el matemático Kurt Gödel (1906–1978) publicó el resultado más perturbador de toda la historia de las matemáticas: cualquier sistema formal suficientemente potente (capaz de expresar la aritmética elemental) contiene proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse dentro del sistema. El sistema es, en ese sentido, incompleto.
La demostración de Gödel utiliza una construcción extraordinariamente elegante: la autorreferencia. Construye una proposición G que, en esencia, afirma 'Esta proposición no es demostrable en este sistema'. Si G fuera demostrable, el sistema sería inconsistente. Si G no es demostrable, entonces G es verdadera (y no demostrable): el sistema es incompleto.
La técnica central es la aritmetización del metalenguaje: Gödel asigna a cada símbolo, fórmula y demostración un número natural (el número de Gödel), permitiendo que el sistema hable sobre sus propias proposiciones mediante aritmética ordinaria.
4.2. Borges y la autorreferencia literaria
La autorreferencia es un recurso literario central en toda la obra borgiana, y su conexión con el teorema de Gödel no es meramente analógica: en ambos casos, la autorreferencia es el mecanismo que genera la paradoja o la imposibilidad.
En Tlön, Uqbar, Orbis Tertius (1940), un artículo de enciclopedia sobre una enciclopedia ficticia acaba modificando la realidad del narrador: el texto sobre el mundo acaba convirtiéndose en el mundo. En Las ruinas circulares (1940), el soñador que crea a un hombre a través del sueño descubre, en el golpe final, que él mismo es soñado por otro: la recursión es perfecta, y el sistema es irreductible a un primer elemento exterior. En el Cuento de horror (1978), un hombre sueña un cuento de horror y descubre que él mismo es el personaje del cuento: proposición que afirma su propia imposibilidad.
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V. Topología y Geometría: Espacios Imposibles en Borges
5.1. La esfera de Pascal y la geometría del infinito
En su ensayo La esfera de Pascal (1951), Borges recorre la historia de una metáfora: la idea de que Dios —o el universo— es una esfera cuyo centro está en todas partes y su circunferencia en ninguna. Desde Empédocles hasta Pascal, pasando por Bruno, esta imagen resurge con variaciones.
Matemáticamente, esta descripción corresponde a lo que los topólogos llaman un espacio homogéneo: un espacio en el que no hay punto privilegiado, todos los puntos son equivalentes bajo las simetras del espacio. El universo de la cosmología moderna es precisamente esto: homogéneo e isótropo a grandes escalas. No hay centro cósmico. Desde cualquier galaxia, el universo parece el mismo en todas las direcciones.
5.2. El Aleph: punto singular y dimensión fractal
El Aleph (1945) es quizás el cuento más matemáticamente sugestivo de Borges. El Aleph es un punto del espacio que contiene todos los otros puntos: desde él se ven simultáneamente, sin confusión, todos los lugares del universo.
En términos matemáticos, el Aleph es una singularidad topológica: un punto que contiene toda la información del espacio. Esta idea es extraordinariamente cercana al concepto matemático de holograma cuántico y al principio holográfico de la física teórica moderna (Maldacena, 1997): toda la información de un volumen espacial puede estar codificada en su superficie bidimensional.
Hay otra lectura posible: el Aleph como conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor es un subconjunto de [0,1] construido eliminando iterativamente el tercio central. Es un conjunto con medida cero (prácticamente 'no existe') pero con la misma cardinalidad que el continuo: tiene tantos puntos como la recta real. Es un objeto de dimensión fractal (log2/log3 ≈ 0,631), ni punto ni segmento.
“Vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.”
— Borges, El Aleph, 1945
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VI. Combinatoria y el Arte de la Permutación
6.1. La Lotería en Babilonia: sistemas estocásticos y complejidad
En La lotería en Babilonia (1941), Borges construye un sistema social donde el azar determina cada aspecto de la vida. La lotería comienza siendo simple, pero se va complicando hasta volverse total: no solo distribuye premios sino castigos, no solo afecta al ganador sino a terceros, no solo opera con resultados inmediatos sino con consecuencias diferidas y encadenadas.
El resultado es un sistema donde la distinción entre azar y determinismo se disuelve. Si cada evento está determinado por una lotería, pero la lotería en sí es un proceso estocástico, el sistema total es matemáticamente equivalente a un proceso de Markov de orden superior: cada estado depende de una distribución de probabilidad sobre el espacio de estados, que a su vez depende de otra distribución, y así ad infinitum.
Esta estructura anticipa los modelos jerárquicos bayesianos: modelos donde los parámetros de una distribución son a su vez variables aleatorias con sus propias distribuciones (hiperpriores). Son hoy fundamentales en aprendizaje automático y estadística bayesiana.
6.2. El Libro de Arena y los conjuntos densos
En El libro de arena (1975), el narrador recibe un libro cuyas páginas son infinitas: nunca se puede llegar a la primera ni a la última, y nunca se puede abrir dos veces por la misma página. Este objeto es matemáticamente un conjunto denso sin extremos: un modelo del conjunto de los números racionales en un intervalo abierto.
Los números racionales son densos en los reales: entre dos racionales cualesquiera siempre hay otro racional. Pero el conjunto de los racionales tiene medida cero: 'casi todos' los números reales son irracionales. El libro de arena —siempre con una página entre cualquier par de páginas, nunca repetible— captura perfectamente esta propiedad de densidad sin completitud.
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VII. El Tiempo en Borges: Relatividad y Filosofía
7.1. Una nueva refutación del tiempo
En Una nueva refutación del tiempo (1944–1947), Borges lleva a cabo un experimento filosófico radical: intenta demostrar, siguiendo a Berkeley y Hume, que el tiempo no existe. Su argumento es que si dos experiencias son exactamente iguales en todos sus elementos, son la misma experiencia: no hay 'cuándo', solo 'qué'.
Este argumento es sorprendentemente próximo a debates actuales en física fundamental. La pregunta de si el tiempo es fundamental o emergente divide hoy a los físicos teóricos. Carlo Rovelli (en El orden del tiempo, 2017) argumenta que el tiempo como flujo es una ilusión cognitiva: las leyes fundamentales de la física son en su mayoría invariantes bajo inversión temporal. El tiempo 'emerge' de la termodinámica, del incremento de entropía, no de las ecuaciones microscópicas.
Julian Barbour, en The End of Time (1999), va más lejos: el universo es una colección de 'nows' (instantes), un espacio de configuraciones llamado Platonia, sin ningún flujo temporal intrínseco. El movimiento y el cambio son ilusiones producidas por la correlación entre configuraciones en ese espacio estático.
“El tiempo es la sustancia de que estoy hecho. El tiempo es un río que me arrebata, pero yo soy el río; es un tigre que me destroza, pero yo soy el tigre; es un fuego que me consume, pero yo soy el fuego.”
— Borges, Nueva refutación del tiempo, 1944
7.2. Relatividad y la simultaneidad borgiana
La relatividad especial de Einstein (1905) introdujo una ruptura radical con la noción intuitiva del tiempo: la simultaneidad es relativa al observador. Dos eventos simultáneos para un observador pueden no serlo para otro en movimiento relativo. El tiempo no fluye a la misma tasa para todos: se dilata con la velocidad y la gravedad.
En El jardín de senderos que se bifurcan, Borges habla de 'tiempos que divergen, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran'. Esta pluralidad de tiempos, aunque metafórica, captura algo esencial de la relatividad: no hay un tiempo único y universal, sino una familia de tiempos propios, uno para cada observador o trayectoria en el espaciotiempo.
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VIII. Conclusión: Borges como Matemático Involuntario
Hemos recorrido un amplio paisaje: la combinatoria astronómica de la Biblioteca de Babel y su relación con los cardinales transfinitos de Cantor; el multiverso del Jardín de senderos y la interpretación de Everett; la autorreferencia de los cuentos borgianos y el teorema de incompletitud de Gödel; la topología del Aleph y el principio holográfico; la densidad matemática del Libro de Arena; los sistemas estocásticos de la Lotería en Babilonia y los modelos bayesianos; y la filosofía del tiempo en relación con la relatividad y la física teórica contemporánea.
Lo que emerge de este recorrido no es un Borges que 'usó' las matemáticas como ornamento literario, sino un Borges que pensaba estructuralmente, que tenía el instinto del matemático: la capacidad de ver estructuras isomorfas bajo apariencias superficialmente distintas, la fascinación por los límites del conocimiento, el vértigo ante el infinito y la paradoja.
Borges no fue matemático. Pero sus ficciones son experimentos mentales con el rigor formal de una demostración y la potencia evocadora de la gran literatura. En ese espacio intermedio —entre el teorema y el poema— habita su obra, singular e irrepetible.
“Que el cielo exista, aunque mi lugar sea el infierno. Que yo sea ultrajado y aniquilado, pero que en un instante, en un ser, Tu enorme Biblioteca se justifique.”
— Borges, La Biblioteca de Babel
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Referencias y Lecturas Recomendadas
Obras de Borges
Borges, J. L. (1941). Ficciones. Buenos Aires: Sur. [Incluye La Biblioteca de Babel, El jardín de senderos que se bifurcan, La lotería en Babilonia.]
Borges, J. L. (1949). El Aleph. Buenos Aires: Losada. [Incluye El Aleph, Las ruinas circulares, El inmortal.]
Borges, J. L. (1960). El hacedor. Buenos Aires: Emecé. [Incluye Ajedrez y otros poemas.]
Borges, J. L. (1975). El libro de arena. Buenos Aires: Emecé.
Matemática y Ciencia
Cantor, G. (1883). Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig.
Gödel, K. (1931). Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Monatshefte für Mathematik, 38(1), 173–198.
Everett, H. (1957). 'Relative State' Formulation of Quantum Mechanics. Reviews of Modern Physics, 29(3), 454–462.
Hofstadter, D. (1979). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books.
Rovelli, C. (2017). L'ordine del tempo. Adelphi. [Trad. esp.: El orden del tiempo. Anagrama, 2018.]
Barbour, J. (1999). The End of Time: The Next Revolution in Physics. Oxford University Press.
Maldacena, J. (1997). The Large N Limit of Superstring Field Theories and Supergravity. International Journal of Theoretical Physics, 38(4), 1113–1133.
Sobre Borges y las matemáticas
Bloch, W. G. (2008). The Unimaginable Mathematics of Borges' Library of Babel. Oxford University Press. [El libro más riguroso sobre las matemáticas en la obra borgiana.]
Martinez, G. (2003). Borges y la matemática. Buenos Aires: Seix Barral.
Kauffman, L. H. (2001). The Mathematics of Borges. Kybernetes, 30(5), 677–702.
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