Los Números Perfectos

 

Atentos solo un par de minutos. Pongámonos en  situación. Viajaremos virtualmente allá por el año 100 d.C. (aproximadamente), para conocer al filósofo  seguidor de la corriente filosófica neopitagórica  imperante en la época, Nicómaco de Gerasa.  Entre sus muchos escritos y trabajos, nos fijamos en uno muy especial,  en su Introducción Arithmética, monumental obra filosófica en la que se destaca una clasificación de los números especialmente singular. Sí, según él los números se clasificaban en:

Abundantes. Aquellos en que la suma de divisores propios es más grande que el propio numero.

Deficientes. Aquellos en que la suma de los divisores propios es más pequeña que el propio número.

Perfectos. Aquellos en que los divisores propios suman exactamente el propio número.

Llegado a este punto cabe aclarar el concepto de divisores propios y poner algunos ejemplos de números abundantes, deficientes y perfectos.

Tomemos por ejemplo el número 60. Los divisores de este número (los que dividen exactamente a 60) son: 1,2, 3, 4, 5, 6, 10, 15,  20,30 y 60. Bien, los divisores propios serán todos menos el propio número. Esto es, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20 y 30.

Si sumamos estos números, obtenemos: 1+2+3+4+5+6+10+15+20+30= 96.

Como 96 es mayor que 60, diremos que 60 es un número abundante según la clasificación de Nicómaco.

Tomemos ahora otro número, por ejemplo el  32. Todos sus divisores son: 1, 2, 4, 8, 16 y 32. Por tanto sus divisores propios son: 1,2,4,8 y 16. Si los sumamos todos tendremos: 1+2+4+8+16= 31. Como 31 es menor que 32, diremos de 32 que es un número deficiente.

Por último, si tomamos el número 28, observamos como todos sus divisores son: 1, 2, 4, 7, 14 y 28. De estos los divisores propios serían: 1, 2, 4, 7 y 14. Si los sumamos, vemos que obtenemos el número 28; así pues: 1+2+4+7+14=28, el número 28 es un número perfecto.

La literatura vertida sobre los números perfectos daría como resultado una inmensa biblioteca. Históricamente estos números merecen de por sí un capítulo aparte dentro de las Matemáticas. Su búsqueda puede compararse en cierto sentido con la búsqueda de los decimales del número π, del número φ (número áureo), entre otros muchos.

La calificación de perfectos, hace alusión a una concepción estética de las Matemáticas, la belleza de estos números reside en la sencillez de la propiedad que lo genera. Su simpleza es simplemente bella, como suele sucederle a todas las cosas bellas.

Hemos tomado como ejemplo de número perfecto el 28, pero empecemos por el principio.

El primer número perfecto con que nos encontramos es el 6. Sus divisores son 1, 2, 3 y 6. Sin embargo su divisores propios son sólo el 1, 2 y 3, con lo que se verifica que 1+2+3= 6, por lo que, efectivamente el 6 es un número perfecto. Así pues haciendo las comprobaciones pertinentes podemos afirmar que los números: 6, 28, 496, 8.128 son los cuatro primeros números perfectos con los que nos encontramos. Estos cuatro números ya eran conocidos en la antigüedad como así lo testimonia Euclides en sus Elementos.

En su tratado también explica Euclides el proceso para encontrarlos. Este consiste en:

1. Colocar en orden creciente las potencias de base dos, comenzando por la unidad, Así pues: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024, 2.048, 4.096. …
2. Para calcular el primer número perfecto, se suman las dos primeras potencias de 2 y el resultado se multiplica por el último de los sumando de la serie anterior:

1+2 = 3; 3 es primo, por tanto (1+2).2 = 6 que es perfecto.

Veamos el segundo: se suman las tres primeras potencias  de 2 y el resultado se multiplica por el último de los sumandos. Así quedaría:

1+2+4 =7; 7 es primo, por tanto se calcula (1+2+4).4 = 28 que es perfecto.

Continuamos con el proceso. Ahora toca sumar los cuatro primeros números de la serie y ver si es o no primo.

1+2+4+8 = 15; 15 no es primo así que saltamos el paso que viene y continuamos:

Toca sumar los cinco primeros números de la serie y ver si es o no primo.

1+2+4+8+16 = 31; 31 es primo, así que calculamos (1+2+4+8+16).16 = 31.16 = 496 que es perfecto.

Continuamos con el proceso, sumando los  seis primeros números de la serie:

1+2+4+8+16+32 = 63; 63 no es primo así que nos saltamos el siguiente paso.

Vamos al siguiente y último ejemplo sumando los siete primeros números de la serie:

1+2+4+8+16+32+64 = 127; 127 es primo así que multiplicamos la suma por 64 de manera que (1+2+4+8+16+32+64).64 = 128.64 = 8.128 que es perfecto.

Como podemos observar es necesario que la suma de los números de la serie sea un número primo para que podamos continuar con el siguiente paso que es, el multiplicar el primo resultante de la suma por el último número de la serie, con lo que nos aseguramos que el resultado es un número perfecto. En caso de que la suma de los números de la serie no sea un número primo, es decir, que sea compuesto, no se lleva a cabo la operación de multiplicar porque el resultado no será un número perfecto.

Desde luego, esta fórmula encuentra correctamente los cuatro primeros números perfectos. Existe otra fórmula más sencilla que también los genera.  Es fácil observar que cuando se suman las potencias de dos empezando por el 1 y sin saltarse ninguna, se obtiene como resultado la siguiente potencia de dos menos 1., es decir:

1 + 2 = 3 = 4 - 1 = 2² - 1;

1 + 2 + 4 = 7 = 8 – 1 = 2³ – 1;

1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 – 1 = 2⁴ – 1; y así sucesivamente.

De esta forma puede deducirse fácilmente, con la notación actual, la fórmula que da Euclides para calcular números perfectos:

6 = (2² – 1) . 2

28 = (2³ – 1) . 2²

496 = (2⁵ – 1) . 2⁴

8.128 = (2⁷ – 1) . 2⁶

Y siempre que 2ⁿ – 1 sea primo, se tendrá que (2ⁿ – 1) . ^2n-1 será perfecto.

 

Bueno con esto he terminado, no sé si os habrá parecido algo árido, denso o aburrido, sin embargo si lo leéis con detenimiento y una picaza de curiosidad quizás os anime a seguir investigando en la búsqueda de otros números perfectos (no confundir con cuadrados perfectos). ¿Para que sirve? Os podría dar muchas razones, pero como siempre en mis artículos dejo la ventana abierta a vuestras propias conclusiones.

Deciros finalmente que en torno a estos números se han establecido multitud de conjeturas, que me atrevería a hablar de ellas en caso de que lo pidieseis claro está.

Espero que os haya gustado.

Yo, que no profeso ser un matemático, pero que, cuandoquiera que hay un tiempo libre, me deleito en el estudio de las matemáticas…

François Viète.

 

Bibliografía.

Wikipedia

El enigma de Fermat. Tres siglos de desafío a la matemática. Abert Violant.

La conjetura de Nicómano: Todo cubo es diferencia de dos cuadrados.

 Hasta luego

Paco Gil Pacheco (@PacoGilBarbate)