Hay dos conceptos que, usados tanto en la vida cotidiana como en el terreno de la ciencia, producen cierta desazón sólo porque es usual creer que significan lo mismo y por tanto son intercambiables. Estos conceptos son los de contradicción y paradoja. Por ello, sería útil comenzar con una aclaración puramente semántica.
Según la RAE, una contradicción es un conjunto de proposiciones que al oponerse recíprocamente se invalidan. Por ejemplo, las oraciones «es una derrota y una salvación» o «sólo sé que no se nada» expresan contradicciones.
Ahora bien, es preciso decir que, en contra de la creencia ampliamente difundida, una paradoja no es simplemente una contradicción; en todo caso, es un par de contradicciones a la que se llega mediante razonamientos puramente lógicos, como veremos a continuación.
El objetivo de este prefacio aclaratorio es simplemente el de situarnos en el contexto apropiado para hablar directamente de algunas de las paradojas más famosas, puesto que mucha de la fascinación que despierta las Matemáticas en sus estudiosos o aficionados posiblemente gravite alrededor de ellas.
Situémonos, cómo no, una vez más, en la Grecia Clásica, en el siglo V a.C. Allí nos encontramos con Zenón de Elea, a quien gran parte de los matemáticos consideran el padre de las paradojas.
Antes de que las humanidades sufrieran los vergonzantes recortes en prácticamente todos los sistemas educativos europeos, los estudiantes de bachillerato lo conocían muy bien, porque los hacían pensar, y eso en los tiempos que corren siempre es un estímulo a tener en cuenta y por supuesto de agradecer. (El sueño de Sancho de Manuel Lozano leyva).
Probablemente, la más famosa y clásica de las paradojas de Zenón sea la de Aquiles y la tortuga. Poco más o menos dice así:
«Aquiles está disputando una carrera contra una tortuga, a la cual le concede una ventaja, por ejemplo, de 10 metros. Suponiendo que ambos comiencen a correr a una velocidad constante (uno muy rápido y la otra muy lenta), tras un tiempo finito, Aquiles correrá 10 metros, alcanzando el punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha corrido una distancia mucho más corta, digamos 1 metro. Aquiles tardará un poco de tiempo más en recorrer esta distancia, intervalo en el que la tortuga habrá avanzado 10 cm; y así sucesivamente, por lo que, cada vez que Aquiles llega a algún lugar donde ha estado la tortuga, todavía tiene algo de distancia que recorrer antes de que pueda alcanzarla. Dicho de otra forma, Aquiles debe recorrer infinitos trayectos para alcanzar la tortuga, pero una distancia infinita implica un tiempo infinito, así que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.»
Claramente, esta paradoja, esconde algo más, puesto que es lógico pensar que Aquiles debe alcanzar a la tortuga. Tuvieron que pasar más de 2000 años para que el matemático alemán Leibniz, con la invención del cálculo infinitesimal, diera con la clave: “Una suma de infinitos términos puede dar un resultado finito”.
El escritor hondureñoTito Monterroso, famoso por sus microcuentos, contaba así la paradoja de Aquiles y la tortuga. [https://youtu.be/OIkoBVbOj68]
Dejemos la Grecia Clásica y regresemos a una época más cercana, a mediados del siglo XIX, cuando nace otro gran matemático, de origen ruso, cuyo nombre completo se hace poco menos que impronunciable, pero que si decimos que se trata de Georg Cantor, ahora sí, se nos hace más reconocible. Cantor fue uno de los padres de la teoría de conjuntos, la base de las matemáticas modernas y fue el primero en formalizar la noción de infinito. Además, descubrió que hay muchos infinitos, y de muchos tamaños.
Para ilustrar de la mejor manera posible el concepto matemático de infinito, el matemático alemán Hilbert inventó la paradoja del hotel infinito.
«Hilbert imaginó un hotel en el que hay infinitas habitaciones designadas respectivamente con los números 1, 2, 3, 4, etc. y que en cada habitación hay una persona, a quienes, para mayor comodidad, identificaremos también con los números 1, 2, 3, 4, 5, etc. En un momento dado llega al hotel un nuevo cliente, al que llamaremos persona “0”. En recepción le dicen que no podrá alojarse porque todas las habitaciones están ocupadas y que, además, hay una regla en el hotel por la cual dos personas no pueden ocupar una misma habitación. Entonces la persona “0” tendría que irse, pero he aquí que alguien propone la siguiente solución: que la persona “0” ocupe la habitación 1, que la persona 1 pase a la habitación 2, la 2 pase a la 3, y así sucesivamente. De esta manera, la persona “0” puede alojarse en el hotel y nadie se queda sin alojamiento.»
Lo que se prueba en la paradoja es que cualquier colección infinita a la que se le haya agregado un nuevo elemento (1, 2, 3, 4, 5, etc.) es coordinable con la colección original (0,1, 2, 3, 4, etc.).Esta paradoja fue refutada con posterioridad por el matemático y filósofo británico Bertrand Russell.
Y, por último, la archiconocida paradoja del gato de Schrödinger. Erwin Schrodinger fue un físico austríaco, Premio Nobel de Física en 1933, junto con Paul Dirac, por su contribución al desarrollo de la mecánica cuántica.
Uno de los rasgos más destacados de Schrödinger es su capacidad para evocar imágenes o situaciones que estimulan el pensamiento incluso hasta en sus adversarios científicos. Concibió la paradoja del gato que acabó convirtiéndose en el gran icono de la mecánica cuántica.
«Schrödinger imaginó un gato encerrado en una cámara de acero junto con un contador Geiger, un frasco de veneno, un martillo y una sustancia radiactiva. Cuando ésta se desintegra, el Geiger lo detecta y activa el martillo para liberar el veneno, que posteriormente mataría al gato. La desintegración radiactiva es un proceso aleatorio y no hay forma de predecir cuándo ocurrirá. Los físicos dicen que el átomo existe en un estado conocido como superposición: descompuesto y no descompuesto al mismo tiempo.
Entonces hasta que no se abra la caja, un observador no sabe si el gato está vivo o muerto, porque el destino del gato está intrínsecamente ligado a si el átomo se ha descompuesto o no. El gato estaría vivo y muerto a la vez hasta que se observe.
Es decir, si no hay forma de decir cómo está el gato, hay que considerar todas las opciones posibles; si te aventuras a predecir el estado del gato, probablemente te equivocarás; y si asumes que la combinación de todos los estados posibles, estarás en lo cierto.»
Con ello Schrödinger planteó una situación en la que la interpretación ortodoxa se limita a ofrecer su catálogo de probabilidades y el sentido común pone de relieve la necesidad de una realidad más profunda.
Ahora me vais a permitir una frivolidad, porque es sencillamente eso una frivolidad, ya que no alcanza el grado de complejidad filosófica y matemática de una paradoja.
Comentarios