Es mucho lo que se ha dicho sobre estos números tan especiales, muchos los volúmenes que estudiosos de las ciencias en general, las matemáticas y filosofía en particular, han escrito sobre ellos. Aquí sólo voy a asomarme a una pequeña rendija que otros muchos pensadores han dejado abierta en la ventana que cuidadosamente han cerrado al salir.
Los matemáticos muy dados a las frases y sentencias grandilocuentes, para reafirmar la supremacía de esta ciencia sobre las demás, han dejado a lo largo de la historia afirmaciones tales como la que hizo el matemático Leopoldo Kronecker (matemático alemán que vivió de 1823 a 1891): «Dios hizo los 10 primeros números; el resto es obra del hombre.»
Lógicamente podemos pensar, sin margen de error alguno, que se refería a los Números Naturales: 1, 2, 3, 4….. hasta el 10.
Sin embargo, de lo que no cabe duda alguna, es que siendo éste probablemente de los primeros procesos de abstracción que hizo el hombre, también lo fue el llegar al concepto de Números Primos; un subconjunto de los Números Naturales que se define como: “Aquellos número que sólo tiene dos factores, el 1 y ellos mismos, es decir, sólo admiten como divisores a la unidad y a ellos mismos”. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
La primera prueba documentada -y por tanto indiscutible- sobre los Números Primos se remonta a alrededor del año 300 a.C., y se encuentra en la obra Los Elementos de Euclides (tomos VII al IX).
Es frecuente referirse a los Números Primos como los ladrillos de las matemáticas, o el código genético de los números, y todo, porque pueden ser considerados como los elementos primigenios a partir de los cuales se genera cualquier otro número. Esta propiedad que es conocida como Teorema fundamental de la aritmética, tiene padre, y no podría ser otro que Euclides, quien afirmó: “Todo Número Natural se puede descomponer de forma única como producto de factores primos”. Ejemplos:
Con lo que podríamos afirmar, por analogía con la Biología que el ADN del número 328 es una cadena formada por: 
La palabra primo proviene del latín “primos” que quiere decir primero y alude al concepto de primario o primitivo en el sentido de origen, por cuanto todos los números pueden obtenerse a partir de ellos.
Por definición el número 1 no es primo por no tener dos divisores distintos -sólo es posible dividirlo por él mismo-, de la misma manera que podemos reseñar algunas características tan simples como intuitivas, como por ejemplo:
* El número 2 es el único número par que es primo.
* Todos los números primos son impares, excepto el 2, sin embargo no todos los impares son primos como se deduce fácilmente. Por ejemplo el 29 es impar y además primo, sin embargo el 21 es impar y no es primo, ya que tiene como divisores el 1, 3, 7 y el 21.
* A los Números Naturales que no son primos se les llaman Números Compuestos. Y los definimos como los números que admiten otros divisores distintos a la unidad y a él mismo. Por ejemplo: 4, 8, 32, 21, 33, etc
Como comentaba al principio, es mucho lo que de estos números se ha escrito, es más que probable que también sea mucho más lo que de ellos se desconozca, e inmersos en arduas investigaciones, para desentrañar cualquier resquicio que permita un mayor conocimiento de los mismos, se encuentran muchos estudiosos y pensadores; por poner un simple ejemplo, y a modo de curiosidad, el mayor de los Números Primos del que tengo constancia hasta el momento de este documento es el:
Pero aún con ser importante esto -lo más probable es que se trate de un conjunto infinito-, sin embargo, son otras muchas cuestiones las que traen de cabeza a quienes se dedican a estudiarlos, cuestiones que han mantenido en jaque a los matemáticos de todas las épocas y, entre ellas: su aparente criterio de aparición, ya que no obedece a ninguna ley de formación a la que responda sin ambigüedades. Los Números Primos aparecen como un conjunto caótico, sin orden ni concierto y se distribuyen de forma aparentemente aleatoria por la serie de Número Naturales. Y aunque son muchos los matemáticos que hasta la fecha han intentado encontrar alguna propiedad que justifique las pautas de su aparición, a lo más que se ha llegado es que no se trata de una rareza matemática como Euclides demuestra en su teorema, simplemente se trata de un conjunto de números infinitos que no pueden ser pares.
Como es lógico, y al margen de disquisiciones filosóficas, los investigadores están absortos en la búsqueda de un proceso de abstracción que, más allá de las técnicas de recuento, generaren Números Primos. Como vemos, ha sido y sigue siendo un tema que nos ocupa y preocupa.
El primer método conocido fue desarrollado por Eratóstenes de Cirene (273 - 194 a.C.), que además de ejercer como matemático, astrónomo y geógrafo fue director de la Biblioteca de Alejandría. Dicho método es conocido como la Criba de Eratóstenes.
Esta criba no es más que una tabla, en la que, por ejemplo, vamos a obtener los Números Primos existentes en los 100 primeros Números Naturales. Para ello, vamos a construir una tabla dividida en 100 celdas en las que vamos a escribir los Números Naturales del 1 al 100. A continuación empezamos a eliminar todos aquellos números que son pares, es decir, los múltiplos de 2, excepto el 2; así pues eliminamos: 4, 6, 8, 10, 12………. 100. A continuación eliminamos a los múltiplos de 3: 6 (ya eliminado), 9, 12, 15, 18,…. Le seguirán los múltiplos de 5, luego los de 7, etc. Al final los números que quedan sin eliminar son todos primos.
Observamos, por simple intuición que la criba finaliza cuando se llega al número 10, que es la raíz cuadrada de 100. Con esto deducimos fácilmente que para encontrar todos los primos menores que un número N dado, basta con realizar la criba para los números menores o iguales a la raíz de N.
No seríamos del todo justo si dejáramos pasar el momento de reivindicar en toda su dimensión científica la figura de Eratóstenes, porque, aunque su nombre vaya indisolublemente unido a su criba, sin embargo su trabajo más importante, históricamente hablando, y por el que posiblemente pasará a la historia de la ciencia, es por ser el primero que calculó las dimensiones de la Tierra.
Mención de honor en este campo matemático que cultiva el estudio de los Números Primos merece el francés Marin Mersenne (nacido en Oizé el 8 de septiembre de 1588 y fallecido en París el 1 de septiembre de 1646), sacerdote, matemático y filósofo del siglo XVII.
Figura intelectual preeminente del pensamiento europeo, considerado por los historiadores como precursor de la Revolución Científica en ciernes, que mantiene una estrecha relación de colaboración con figuras del pensamiento moderno de la época de la talla de René Descartes, Pierre Fermat, Galileo Galilei, Thomas Hobbes, etc.
Aunque sus aportaciones intelectuales fueron numerosas, incluso en la música, sin embargo, hoy día es recordado fundamentalmente gracias a los números que llevan su nombre: Los Números Primos de Mersenne, que aunque los introdujo en 1641, algunas de las conjeturas que sobre ellos formuló, sólo pudieron ser comprobadas o refutadas en el siglo XX.
Pero... ¿Qué es un número Primo de Mersenne?
Un Número de Mersenne es un número que cumple con la premisa:
(siendo P un Número Primo)Mersenne afirmó que para P = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 se cumple que:
es un Número Primo. Sin embargo Mersenne no dejó constancia de cómo llegó a esa conclusión, y más aún teniendo que haber hecho cálculos con números de más de 20 dígitos, una barbaridad para la época. Fue después de más de un siglo cuando Euler demostró que efectivamente para P=31,
era un número primo. Aún así seguía siendo una incógnita para P = 67, 127 y 257 y siguió siéndolo varias décadas más.A principio del siglo XIX, el matemático francés Edouard Lucas, logró demostrar que para P = 127, 
no era Número Primo, ya que su resultado admite a otros divisores distintos a 1 y a él mismo.
es un Número Primo, y más concretamente, un Número Primo de Mersenne. Esta demostración supuso un hito histórico para las matemáticas, pues se creyó que Mersenne había dado con la fórmula definitiva para la obtención de estos números primos. Sin embargo a principios del siglo XX, un matemático inglés Cold, demostró que
Ya en la segunda mitad del siglo XX se encontraron tres nuevos Primos de Mersenne. De cualquier manera, aun hoy día, permanece la duda, y se sigue investigando si se puede tener una cantidad infinita de estos Número Primos de Mersenne, y si entre estos Números Primos se pueden esconder algún otro de características un tanto peculiares. Hoy día se requiere de la intervención de potentes ordenadores para encontrar Números Primos de Mersenne, dado que los cálculos son sumamente complejos por el número de dígitos que pueden intervenir. ¡Una barbaridad! en lenguaje coloquial.
Como anécdota, para curiosos e investigadores, ya sean matemáticos o no, existe un programa abierto a cualquiera que quiera participar, la GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Es este un programa en el que cualquiera que lo desee puede participar, y para ello sólo es necesario ¿un potente? ordenador y uno de los muchos programas gratuitos que se ofrecen por la red.
Del último Número Primo del que tengo constancia, como ya he apuntado, hasta estos momentos, tiene una longitud de
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que se puede expresar como M82.589.933 (M de Mersenne) y ha sido descubierto por Jonathan Peig, ingeniero eléctrico estadounidense que pertenece al grupo GIMPS. Peig mantuvo a su ordenador trabajando durante 6 días consecutivos sin parar hasta encontrar el número. Ah, antes de que se olvide, por cada nuevo número que se obtiene hay una pequeña remuneración económica y por lo que tengo entendido, parece ser que GIMPS tiene el reto en estos momentos en la búsqueda de un primo de tantos dígitos como resulte de la potencia:
Números de Mersenne.
Para quienes se dedican a investigación científica en general y a las matemáticas en particular, no es ajeno a que la utilización la de los números primos es fundamental en multitud de cálculos y campos, uso es cotidiano, Sin embargo no es así para el profano, quién a menudo, dentro de su ignorancia, se pregunta con relativa frecuencia, ¿para qué sirven?. Pues bien, yo me limitaré a darle un par de datos: a) no sería posible el uso de los sofisticados métodos de encriptación que se usan en informática sin la existencia de estos números y b) En el cine por ejemplo, las fabulosas escenas de efectos especiales, no sería posible sin estos números.
Lo mismo un día me atrevo a escribir sobre los Números Primos de Lucas, es decir, de un número de Lucas que además es primo. Desde aquí os animo a adentraros en ellos.
A modo recomendación literaria, hay un libro muy interesante titulado: LA SOLEDAD DE LOS NÚMEROS PRIMOS de Paolo Giordano, del que os hago un pequeño resumen en la imagen de abajo
El consejo de un santo.
San Agustín, uno de los Padres de la Iglesia escribía hacia el año 420 de nuestra era:
“Un buen cristiano debe evitar tener contacto con los matemáticos y con los impíos adivinadores”. ¡Cuánta razón tenía!
BIBLIOGRAFÍA:
Los números primos. Un largo camino al infinito. Autor: Enrique Gracián.
La Soledad de los Números Primos. Autor: Paolo Giordano.
Wikipedia.
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Cualquiera de los artículos científicos y matemáticos de este blog: Paco Gil Pacheco.
Hasta luego y suerte
Paco Gil Pacheco (@PacoGilBarbate)
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