Casi todas las ramas de las matemáticas son el resultado de un largo proceso histórico que se fue desarrollando a lo largo de décadas o siglos, con el aporte de muchas personas, y en el suele ser muy difícil, por no decir imposible, señalar a un único iniciador. [...]
Sin embargo, la teoría matemática del infinito - teoría de conjuntos -, es el fruto del talento y de la imaginación de un solo hombre, que la creó casi de la nada, el matemático ruso-alemán Georg Cantor. Es posible incluso señalar el momento casi exacto en el que Cantor dio el salto creativo que le llevó a su teoría; cuando en una carta fechada el 5 de noviembre de 1882 le escribió a su amigo y colega Richard Dedekind.
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El infinito en matemáticas. CANTOR. Lo incontable es lo que cuenta. National Geographic. EDITEC.
Georg Cantor. (1845-1918). Matemático de primer orden, creador, a pesar del sarcasmo y la hostilidad de muchos de sus contemporáneos, de la teoría de conjuntos, que ha ejercido notable influencia en la matemática moderna.
La noción de conjunto, y las teorías que lo sustentan linda con la filosofía y, analizando los principios mismos del conocimiento, promueve terribles problemas que no es cuestión de abordar aquí. Para alcanzar los fines que nos interesan es suficiente el punto de vista “ingenuo” (ingenuidad de Cantor), en oposición al formalista o axiomático.
Convendremos en que un conjunto está constituido por objetos materiales, o por fenómenos o signos o entes abstractos, reunidos en virtud de una propiedad común. De la misma manera que es asumido por la comunidad científica que la Teoría de Cantor cambió para siempre la forma en que los matemáticos conciben el infinito, demostrando que existen jerarquías y distintos "tamaños" de infinitos, y sentando las bases de gran parte de la matemática moderna.
Los puntos clave de su teoría son:
Teoría de Conjuntos: Cantor sentó las bases de la teoría de conjuntos, definiendo el concepto de "conjunto" como una entidad de naturaleza diferente a la de los elementos que lo compone; un conjunto de puntos no es un punto, incluso si contiene solo un punto.
Cardinalidad: Introdujo la noción de "cardinalidad" o "potencia" de un conjunto, que se refiere al número de elementos que contiene.
Diferentes tamaños de infinito: Lo más revolucionario fue su demostración de que no todos los conjuntos infinitos tienen el mismo "tamaño" o cardinalidad. Demostró que el conjunto de los números naturales (N) y el conjunto de los números reales (R) tienen infinitos elementos de distinto tamaño. Este concepto lo introdujo Cantor de una manera revolucionaria al establecer la noción de cardinalidad para conjuntos infinitos. Su clave fue la idea de biyección (o correspondencia uno a uno).
Correspondencia biunívoca (Biyección): Cantor definió que dos conjuntos, sean finitos o infinitos, tienen el mismo "tamaño" (la misma cardinalidad) si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre sus elementos. Esto significa que a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo, y viceversa, sin que sobre ningún elemento en ninguno de los dos conjuntos.
Números Transfinitos: Son una extensión del concepto de número más allá de los números finitos, introducidos por Georg Cantor para cuantificar y comparar el "tamaño" de los conjuntos infinitos. Antes de Cantor, el infinito era tratado más como una cualidad o un concepto filosófico; él lo transformó en un objeto matemático que podía ser medido y manipulado.
Argumento Diagonal de Cantor: Una de sus demostraciones más famosas es el "argumento diagonal", que utiliza para demostrar que el conjunto de los números reales es "más grande" que el conjunto de los números naturales. Esto implica que no se puede establecer una correspondencia uno a uno entre ellos.
La afirmación "el todo es más que la suma de las partes" aunque no es un axioma directo de la teoría de conjuntos, sin embargo, puede interpretarse como una idea que emerge de ciertos aspectos de ella, particularmente cuando se considera cómo los conjuntos pueden generar nuevas estructuras o propiedades que no son evidentes en sus elementos individuales.
En la teoría de conjuntos, el "todo", (un conjunto), no solo está compuesto por sus "partes" (sus elementos), sino también por las relaciones y estructuras que se pueden definir sobre esos elementos. Si solo consideráramos la "suma de las partes" como una lista de elementos sin más, estaríamos ignorando la riqueza que surge de cómo esos elementos interactúan o se agrupan.
En este sentido podría poner multitud de ejemplos, sin embargo me voy a limitar a ceñirme a dos, quizás por sus implicaciones directas en la comprensión de lo que estamos tratando. Así, pues:
Conjunto de puntos y Geometría: Imaginemos un conjunto de puntos en un plano. Si solo sumamos los puntos individualmente, tenemos eso: puntos. Pero cuando definimos relaciones entre esos puntos (como distancia, colinealidad o paralelismo), el "todo" que emerge es la geometría. Una línea, un triángulo o un círculo son "más" que la simple suma de los puntos que los componen; son la organización y las propiedades que surgen de las relaciones entre esos puntos. La relación de "estar entre" o "formar un segmento" entre puntos es lo que da lugar a la forma, no solo los puntos en sí.
Números Naturales Sistema Numérico: Los números naturales ({1,2,3,…}) son elementos individuales. Pero el "todo" que es el sistema de los números naturales es mucho más. Incluye las operaciones (suma, multiplicación) y las propiedades (conmutatividad, asociatividad, elemento neutro, etc.) que se definen sobre ellos. Estas propiedades y operaciones no residen en un solo número, sino en cómo todos los números se relacionan entre sí. Sin estas relaciones y propiedades, la aritmética no existiría.
¿Qué es el infinito? Con mayor precisión, ¿qué queremos decir cuando afirmamos que una colección de objetos es infinita?
Antes tendríamos que aclarar que la palabra objeto, en su sentido más amplio, hace referencia a cualquier objeto ya sean abstractos o imaginarios.
Luego definir el concepto de colección infinita, si al intentar contar uno por uno todos los objetos que la forman resulta que esa cuenta nunca termina, y «nunca» debe ser entendida aquí en el sentido literal más estricto de «jamás por toda la eternidad».
Sea como fuere, estudiosos de las matemáticas han llegado a la conclusión de que el infinito puede ser considerado: en potencia o en acto. Pero, qué quiere decir esto.
Hablamos de un infinito en potencia, o potencial, cuando pensamos en una colección que es siempre finita, pero que puede ser aumentada indefinidamente sin restricciones. La infinitud está pensada en este caso como una propiedad negativa, asociada a la imposibilidad de completar una tarea.
Pero pensemos ahora en la colección formada por todos los números naturales, absolutamente todos sin excepción (sin importar si no han sido escritos). Se trata obviamente de una colección que es también infinita, pero en este caso se trata de un infinito estático, completo. En esta nueva colección están todos los números, no queda ya nada por agregar. Hablamos en este caso de un infinito en acto.
Estos dos conceptos no son nuevos en la literatura filosófica y matemática. Posiblemente el primero en hablar de estos dos términos fuese Aristóteles para contraponer su concepto de infinito al de Zenón y sus paradojas, entre ellas la de “Aquiles y la tortuga”.
El trabajo de Cantor se puede analizar en el artículo que este publicó en 1874 en el Journal de Crelle y cuyo título en castellano es «Sobre una propiedad característica de la totalidad de los números reales algebráicos». Este trabajo contenía algunas de las ideas básicas de la que más tarde llegaría a ser su teoría del infinito.
“El matemático alemán David Hilbert (1862-1943) concibió una historia ficticia que sirve para ejemplificar una de las consecuencias de la teoría de Cantor, conocida como la historia del hotel de Hilbert. Imaginemos, dijo Hilbert, un hotel en el que hay infinitas habitaciones designadas respectivamente con los números 1, 2, 3, 4, 5,... y que en cada habitación hay una persona, a quienes, para mayor comodidad, identificaremos también con los números 1, 2, 3, 4, 5, … En un momento dado llega al hotel un nuevo cliente, al que llamaremos persona 0, pero en recepción dicen que no podrán alojarlo porque todas las habitaciones están ocupadas y además una regla del hotel establece que dos personas no pueden ocupar una misma habitación. Parece que la persona 0 tendrá que irse, pero entonces alguien propone la siguiente solución: que la persona 0 ocupe la habitación 1, que la persona 1 pase a la habitación 2, la persona 2 pase a la 3, y asì sucesivamente. De este modo la persona O puede alojarse en el hotel y nadie se que sin alojamiento.
Traducida a lenguaje matemático, esta historia demuestra que la colección de los números 0, 1, 2, 3, 4, 5,... es coordinable con la colección formada por los números 0, 1, 2, 3, 4, 5,.... En realidad, un argumento similar al que se muestra en la historia permite probar que cualquier colección infinita a la que se le haya agregado un elemento nuevo es coordinable con la colección original”.
Ya termino, no sin antes aconsejarnos la lectura «EL LIBRO DE ARENA» de Jorge Luis Borges. Un cuento publicado en 1975, en el que el narrador, - el propio Borges - adquiere de un vendedor ambulante un libro que, según descubre, tiene infinitas páginas. [...].
Como siempre os animo a que investiguéis sobre este apasionante tema en la total seguridad de que no saldréis defraudados.
Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida.
John von Neumann
FUENTES CONSULTADAS:
Álgebra moderna. A. Lentin y J. Rivaud. Versión española de Emilio Motilva Ylarry.
El infinito en matemáticas. CANTOR. Lo incontable es lo que cuenta. National Geographic. EDITEC.
Wikipedia
Algunas de las afirmaciones y definiciones aquí vertidas, han sido contrastadas por IA (ChatGPT y Géminis)
Las imágenes han sido generadas por las herramientas de IA: Geminis y Copilot.
He mejorado algunas de las imágenes y hecho la composición de cabecera con Photoshop.
Hasta luego y suerte.
Paco Gil Pacheco (@PacoGilBarbate).
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